Удобно проводить особым способом, который получил название «сложение столбиком » или «сложение в столбик ». Прелесть этого способа заключается в том, что он позволяет свести сложение многозначных натуральных чисел к сложению однозначных чисел.
В этой статье мы очень подробно разберем, как выполняется сложение столбиком двух и большего количества натуральных чисел. После описания последовательности действий, мы приведем решения примеров, соответствующих всем наиболее характерным ситуациям, которые возникают при сложении натуральных чисел в столбик.
Навигация по странице.
Что необходимо знать для сложения столбиком двух натуральных чисел?
Во-первых, желательно хорошо знать таблицу сложения . Это позволит выполнять сложение в столбик намного быстрее, так как при проведении промежуточных вычислений не придется каждый раз обращаться к таблице сложения.
Во-вторых, рано или поздно при сложении двух многозначных натуральных чисел столбиком мы столкнемся со сложением двух нулей, а также со сложением натурального числа и нуля. Напомним формулировки соответствующих свойств сложения натуральных чисел :
- если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому: a+0=a , 0+a=a , где a – любое натуральное число;
- сумма двух слагаемых, каждое из которых равно нулю, есть нуль: 0+0=0 .
В-третьих, нам придется постоянно сравнивать результаты промежуточных вычислений с числом десять, поэтому необходимо разобраться с материалом статьи сравнение натуральных чисел .
Теперь можно переходить к описанию сложения столбиком двух многозначных натуральных чисел.
Сложение в столбик двух натуральных чисел.
Описывать процесс сложения столбиком двух натуральных чисел мы будем вместе с решением конкретного примера. Вычислим столбиком сумму чисел 724 980 032 и 30 095 .
Сложение столбиком начинается с записи слагаемых.
При сложении в столбик слагаемые записываются так, что цифры, из которых состоят записи складываемых чисел, располагаются одна под другой, начиная справа. Слева от записанных слагаемых ставится знак плюс, а снизу проводится горизонтальная линия.
В нашем случае запись будет иметь следующий вид:
Теперь полученная запись мысленно разбивается на столбики так, как это изображено на рисунке:
Все дальнейшие действия сводятся к сложению однозначных чисел, находящихся в одном столбике.
Представим упрощенную модель дальнейших действий. Процесс начинается с крайнего правого столбца: складываются числа, находящиеся в нем, под горизонтальной линией записывается значение разряда единиц полученного числа, а значение разряда десятков запоминается (если оно отлично от нуля). После этого происходит продвижение на один столбец влево и все действия повторяются в той лишь разницей, что к сумме еще прибавляется запомненное число. Процесс продолжается до тех пор, пока столбцы не закончатся.
Опишем этот процесс детально и по шагам.
Сначала складываются числа в правом столбце (то есть, складываются значения разряда единиц исходных натуральных чисел). Если в результате получается число меньшее 10 , то оно записывается ниже горизонтальной черты в этом же столбце. Если же получается число, равное 10 или большее 10 , то под чертой записывается значение разряда единиц полученного числа, а значение разряда десятков полученного числа запоминается (это число используется на следующем этапе). Например, если при сложении получилось число 16 , то число 6 записывают под чертой и запоминают число 1 , при этом говорят «шесть пишем, один в уме».
Таким образом, в нашем примере мы складываем числа из правого столбца – числа 2
и 5
. В результате имеем число 7
. Так как 7
меньше, чем 10
, то записываем это число под горизонтальной линией, а запоминать нам никакое число не нужно. Получаем:
После этого складываются числа в следующем столбце (то есть, складываются значения разряда десятков исходных натуральных чисел), и проводятся действия, аналогичные только что описанным, но к сумме еще прибавляется запомненное число (если мы его запоминали), после чего это число больше не нужно держать в памяти. Если в результате получается число меньшее 10 , то оно записывается в этом столбике ниже горизонтальной черты. Если же получается число равное 10 или большее 10 , то под линией записывается значение разряда единиц полученного числа, а значение разряда десятков запоминается.
Итак, складываем числа 3
и 9
, получаем число 12
. К этому результату ничего прибавлять не нужно, так как мы не запоминали число на предыдущем шаге. Так как 12>10
2
12
) и запоминаем число 1
12
). Чтобы не забыть о запомненном числе, его будем записывать сверху в соседнем слева столбце, причем будем использовать другой цвет. Запись примет вид:
Возвращаемся к решению примера. Складываем числа 0
и 0
. В результате имеем 0
. К этому числу прибавляем запомненное число 1
, получаем 0+1=1
. Так как 1<10
, то под горизонтальной линией записываем число 1
и никакое число не запоминаем. На этом этапе запись будет иметь следующий вид:
Переходим к следующему столбцу. Имеем 0+0=0
. Так как 0<10
, то записываем нуль под линией и ничего не запоминаем:
На следующем шаге получаем 8+3=11
. Так как 11
больше, чем 10
, то записываем число 1
(это значение разряда единиц числа 11
) и запоминаем число 1
(это значение разряда десятков числа 11
). Имеем следующую запись:
В следующем столбце находится лишь одно число – число 9
. Так как в у нас в памяти находится число 1
, то его нужно прибавить к числу 9
(если бы в памяти у нас не было никакого числа, то мы просто записали бы число 9
под горизонтальную линию). Получаем 9+1=10
. Поэтому записываем под линией число 0
и запоминаем число 1
:
Переходим к следующему столбцу и приходим к ситуации, похожей на ситуацию из предыдущего шага. Таким образом, имеем 4+1=5
. Так как 5<10
, то записываем 5
под линией и ничего не запоминаем:
В следующем столбце содержится лишь одно число 2
, при этом в памяти нет никаких чисел. В этом случае мы просто записываем это число под горизонтальную черту:
На последнем шаге в столбике содержится только одно число 7, причем в памяти нет чисел, поэтому записываем число 7
под линию:
В следующем столбце чисел нет и в памяти тоже чисел нет. На этом процесс можно считать завершенным.
Натуральное число, образовавшееся под чертой после завершения процесса, является результатом сложения исходных чисел.
Итак, сложив столбиком числа 724 980 032 и 30 095 , мы получили число 725 010 127 .
Давайте рассмотрим еще несколько примеров сложения натуральных чисел столбиком, чтобы разобраться со всеми нюансами.
Пример.
Сложите натуральные числа 21 и 36 столбиком.
Решение.
Запишем эти числа так, как этого требует метод сложения столбиком:
Приступаем к сложению чисел в правом столбике. Мы знаем, что 1+6=7
. Это число меньше 10
, поэтому просто записываем его под чертой. На этом этапе имеем:
Переходим к сложению чисел в следующем столбике. Так как 2+3=5
и 5
меньше, чем 10
, то записываем число 5
под чертой в соответствующем месте:
Итак, в следующем столбике чисел нет, и в памяти тоже чисел нет. Поэтому, сложение столбиком завершено. Мы получили следующий результат: 21+36=57 .
Ответ:
21+36=57 .
Пример.
Чему равна сумма чисел 47 и 38 ?
Решение.
Проведем сложение столбиком:
При сложении 7
и 8
получаем 15
. Так как 15>10
, то записываем под чертой число 5
, а число 1
запоминаем:
Теперь складываем значения разряда десятков: 4+3=7
. Прибавляем к полученному значению запомненную единицу: 7+1=8
. Записываем число 8
под чертой в соответствующем столбце:
В следующем столбце чисел нет, в памяти чисел тоже нет, поэтому, сложение столбиком завершено. Имеем, 47+38=85 .
Ответ:
47+38=85 .
Пример.
Выполните сложение столбиком
Решение.
3+9=12
. Так как 12>10
, то 2
пишем и 1
в уме:
Переходим к сложению чисел 8
и 5
. Получаем 8+5=13
и нужно прибавить еще запомненную единицу: 13+1=14
. Так как 14
больше 10
, то 4
записываем и запоминаем 1
:
Переходим к следующему столбику: 7+2=9
, и прибавляем еще запомненную единицу: 9+1=10
. Получили 10
, поэтому 0
пишем и 1
в уме:
Сейчас внимание! В следующем столбике исходные складываемые числа не имеют цифр, однако, в уме у нас находится единица, которую нужно записать под чертой:
На этом сложение исходных натуральных чисел завершено, результатом является число 1 042 .
Ответ:
783+259=1 042 .
Пример.
Найдите сумму чисел 56 927 и 90 .
Решение.
Выполним сложение столбиком.
Сложение 7
и 0
дает 7
. Так как 7
меньше 10
, то записываем это число на свое место и ничего не запоминаем:
Очевидно, в следующем столбике нам нужно лишь прибавить к числу 9
запомненную единицу: 9+1=10
. Нуль пишем, один в уме:
На этом шаге нам нужно к 6
прибавить запомненное число один: 6+1=7
. Записываем число 7
на свое место, а запоминать ничего не надо:
Переходим к следующему столбцу. В нем с числом 5
ничего складывать не нужно, то есть, имеем:
В следующем столбике чисел нет, в памяти чисел нет, следовательно, сложение столбиком завершено.
Ответ:
56 927+90=57 017 .
Теперь приведем пример сложения двух натуральных чисел столбиком без промежуточных результатов. Этот пример можно рассматривать как некоторый образец записи сложения двух натуральных чисел столбиком.
Урок и презентация на тему: "Алгоритм сложения чисел столбиком"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 3 класса
Тренажер для 3 класса "Правила и упражнения по математике"
Электронное учебное пособие для 3 класса "Математика за 10 минут"
Алгоритм сложения чисел столбиком
На урок опять нас всех зовёт
Весёлый переливчатый звонок!
Все отдохнули на переменке!
Вас ждут отличные оценки!
Научитесь писать, читать,
И складывать и вычитать!
Готовы ручки и тетрадки?
Учебники в порядке?
Здравствуйте, ребята! Я, ваша учительница. Меня зовут Мария Ивановна. Я рада встрече с вами. Сегодня мы познакомимся с алгоритмом сложения чисел в столбик.
Любой путник перед путешествием обязательно проверяет, всё ли взял в дорогу? А наш багаж – это знания. Давайте вспомним, о чём мы с вами говорили на прошлых уроках.
1. Используя цифры: 5, 0, 8, запишите самое маленькое и самое большое четырёхзначное число.
2. Запишите каждое число в виде суммы разрядных слагаемых: 5478, 69001, 730985, 9000010.
Ребята, что такое алгоритм? Алгоритм – это последовательность действий, приводящих к решению поставленной задачи.
Рассмотрим подробно алгоритм сложения многозначных чисел столбиком на примере:
40528 + 6391 = ?
1. Слагаемые записывают друг под другом столбиком, так, чтобы разряд строго находился под соответствующим разрядом (единицы под единицами, десятки под десятками и так далее).
2. Если в каком-то слагаемом разрядов больше, чем в другом, то в отсутствующих разрядах МЫСЛЕННО записываем цифру 0. После этого проводим черту.
3. Сложение начинается с разряда единиц, поразрядно, справа налево.
4. Если при сложении единиц получится в сумме число 9 или число, которое меньше 9, пишем его под единицами. Если в сумме получится число, которое больше 9, то число единиц пишем под единицами, а число десятков добавляем к следующему столбцу, где складываются десятки и так далее.
В общем виде этот этап можно представить так: если в разряде представлено только одно слагаемое и не было перехода через разряд в предыдущем разряде, то это слагаемое записывают под чертой этого разряда. Если в разряде представлено только одно слагаемое и был переход через разряд в предыдущем разряде, то результат сложения в этом разряде увеличивают на нужное число единиц.
5. Сложение закончено, когда сложены единицы старших разрядов.
Так выглядит алгоритм сложения в столбик схематично.
Выполните сложение в столбик самостоятельно.
32455 + 43894 =
5438 + 11223 =
5123 + 59043 =
1256 + 43009 =
3425 + 29563 =
Надеюсь, что примеры вы решили, алгоритм сложения применили?
Вот и кончился урок,
на перемену вновь звенит звонок!
Мы славно поработали!
Теперь мы отдохнём
И снова на урок пойдём!
Как мы знаем, любое число можно записать с помощью десяти значков, которые называются (арабскими) цифрами . Это значит, что для выполнения любых письменных заданий по математике не нужно уметь считать больше, чем до десяти. Пусть нам, например, дано задание пересчитать огромное число песчинок, высыпанных на стол. Мы отсчитываем десять песчинок и складываем их в одну кучку. Потом отсчитываем еще десять песчинок и складываем их в другую кучку. И так далее, и так далее, пока только можно. Оставшиеся песчинки, не попавшие ни в одну из кучек (если такие будут), отодвигаем на дальний конец стола, чтобы не мешались. Перед нами остались только кучки-десятки. Их-то мы и начинаем пересчитывать. И принимаемся мы за дело точно так же, как и тогда, когда перед нами была лишь большая россыпь отдельных песчинок. Отсчитав десять кучек-десятков, мы собираем их в одну кучку побольше - кучку-сотню. Потом делаем еще одну кучку-сотню и так далее, пока можно. Лишние кучки-десятки, не вошедшие ни в одну кучку-сотню (если такие будут), отодвигаем на дальний конец стола. Теперь приступаем к пересчету кучек-сотен. И так далее, и так далее - по уже знакомой схеме. Всякий раз мы имеем дело со всё более и более крупными кучками. Рано или поздно мы добьемся того, что кучек перед нами окажется меньше десяти. Теперь осталось заполнить следующую таблицу.
|
Кучки- |
Кучки - |
Кучки - |
Кучки- |
Кучки- |
Кучки- |
Отдельные |
В самую правую колонку надо занести количество отдельных песчинок, не попавших ни в какие кучки. По-научному, эта колонка таблицы называется разрядом единиц . Говорят также, что это самый младший разряд числа. Во вторую колонку справа (разряд десятков ) следует поставить количество кучек-десятков. И так далее. При необходимости, слева к таблице можно приписать еще любое количество столбцов (старших разрядов), и не так уж важно, как они называются. Если же столбцов, наоборот, окажется слишком много, то лишние столбцы слева можно стереть. Задание по пересчету песчинок выполнено.
Теперь рассмотрим, как можно сложить два больших числа, не пользуясь счетами. Допустим, к 1234 песчинкам требуется прибавить 2345 песчинок. Заносим оба числа в таблицу:
Поскольку мы собрались складывать эти числа, то и назвали мы их слагаемыми . Сложим по отдельности содержимое каждого разряда: единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями, тысячи с тысячами, - и получим ответ:
Заметим, что результат сложения по-научному называется суммой. Таким образом,
1234 + 2345 = 3579.
К сожалению, не всегда всё получается так просто. Пусть надо вычислить
Заносим слагаемые в таблицу, складываем по отдельности каждый разряд и получаем:
Прямо скажем, вышло плохо. Вот, к примеру, в самом младшем разряде оказалось 17 песчинок. Из такого количества песчинок можно сделать одну полновесную кучку-десяток, и место этой кучке-десятку - в следующем по старшинству разряде. Придется переписать таблицу в другом виде, формируя по мере надобности новые кучки и сразу помещая их в правильный разряд. После этого остается еще раз выполнить сложение внутри каждого разряда, и только тогда получится правильный ответ:
|
Десятки тысяч |
|||||
|
1-е слагаемое |
|||||
|
2-е слагаемое |
|||||
|
Вспомогательные |
1 |
||||
Ну что ж, в принципе, так делать можно, но не всегда ответ получается быстро. Вот, например, какую длинную таблицу приходится составлять, чтобы сложить таким способом числа 9999 и 1:
|
Десятки тысяч |
|||||
|
1-е слагаемое |
|||||
|
2-е слагаемое |
|||||
|
Вспомогательные |
|||||
|
Вспомогательные |
|||||
|
Вспомогательные |
|||||
Подумаем, нельзя ли обойтись более короткой записью. Давайте еще раз сложим числа 5678 и 6789 и постараемся быть по возможности краткими. Ну, во-первых, нет никакой необходимости так тщательно разлиновывать таблицу и выписывать заголовки столбцов и строк. Напишем слагаемые просто так:
В результате такого сложения у нас образовалась дополнительная кучка-десяток, которую мы и записали в подходящий для нее разряд. Теперь, когда мы будем складывать кучки-десятки, мы учтем и эту дополнительную кучку тоже: 7 десятков + 8 десятков = 15 десятков; 15 десятков + 1 десяток = 16 десятков; 16 десятков = 1 сотня + 6 десятков. Значит, следует написать:
Наконец, осталось сложить всё, что оказалось в разряде тысяч (и, ради красоты, написать еще раз единицу из самого старшего разряда строчкой ниже):
Продолжая писать такие маленькие лесенки, мы получим конечный ответ в виде:
Очередь за разрядом десятков. Складываем 7 и 8 и получаем 15. Ну, и куда теперь писать цифру 1, куда цифру 5? Мы же забыли оставить под чертой свободную строчку, откуда должны начинаться лесенки! Но, конечно, мы не будем ничего зачеркивать и переделывать. Мы просто запишем цифру 1 на самый верх таблицы. Важно лишь то, чтобы она попала в правильный разряд:
Наконец-то всё стало хорошо! Но можно сделать еще лучше. На самом верху всё равно ничего, кроме единичек, стоять не может. А значит, вовсе не обязательно эти единички так уж тщательно выписывать. Достаточно вместо этих единичек ставить небольшие аккуратные точки. Вот так:
Проделываем вычитание в каждом разряде по отдельности и получаем ответ:
М-да… Ситуация в разряде единиц складывается очень неприятная. Из семи надо вычитать восемь. Но у нас уже есть кое-какой опыт. Мы знаем, как следует выходить из такого положения. Надо разбить кучку-десяток на отдельные песчинки, и всё тогда встанет на свои места. Записать это можно так:
Переходим к разряду десятков. Здесь нас тоже ожидает неприятность. Из шести надо вычесть семь, а потом вычесть еще одну единицу. Повторяем трюк с разбиением кучки из более старшего разряда:
В разряде десятков теперь имеем: 10 + 6 = 16; 16 − 7 = 9; 9 − 1 = 8. Продолжаем так дальше и в конце концов получаем:
Всё бы хорошо, да только мы уже знаем, что подобная форма записи может привести к некоторым неудобствам. Попробуем вычислить
В разряде единиц ситуация складывается очень удачно:
Переходим к вычислениям в разряде десятков. А здесь не всё так уж гладко. Придется записать так:
Доводим вычисления до конца и получаем:
Всё это сооружение можно заменить на одну-единственную точку, которую удобно записать на месте «−1». В результате получается:
Здесь, для того чтобы выполнить вычитание в разряде единиц, надо бы разбить кучку-десяток на отдельные песчинки, но и кучек-десятков у нас нет. Не беда! Мы немножко сфокусничаем. Сейчас мы как бы из воздуха позаимствуем одну кучку-десяток, но зато потом, когда мы будем проводить вычисления в разряде десятков, надо будет обязательно позаимствованную кучку вернуть. Смело ставим точку в разряд десятков. В разряде единиц получаем: 10 + 0 = 10; 10 − 1 = 9:
Пришло время разбираться с разрядом десятков. Здесь у нас есть ноль кучек, да еще одну кучку надо вернуть, о чем нам напоминает точка сверху. Ставим точку в разряд сотен и не задумываемся о том, разбивается ли при этом на десять кучек настоящая кучка-сотня или такая кучка заимствуется «из воздуха». Теперь в разряде десятков у нас есть десять кучек. Одну из них возвращаем, остается девять:
Теперь и про вычитание нам всё известно. Осталось нарабатывать навык.
